byte 型の最大値はなぜ 127 ?

「byte 型は 8 ビットの符号付整数であり，-128～127 の値をとる．」
ここで，なぜ最大値は “128” ではなくて “127” なのでしょうか？
初心者としてはこういうところが非常に気になります．
そして「これも覚えないといけないのか」と割り切れなさを感じてしまいます．
では，どうして “127” までなのか，について調べてみましょう．
ここで「コンピュータは 2 進数しか扱えない」ことを思い出してください．
つまり，”127″ と 10 進数で表示されている数字も，コンピュータの内部では， 2 進数で処理されているというわけです．
すなわち，byte 型が「8 ビットである」ことは「8 桁の 2 進数で表される」ことに他なりません．
「すると 8 ビットで表されるのは 2^8 = 256 なのでは？」
実は，その通りです．
ほら，「-128～127」は丁度 256 個の数字を表現していますね．
(1～127 で 127個，-1～-128 までで 128個，これに 0 の 1個を足して256個です．)
「それなら，byte 型を -127～128 とした方が，正の数が多くていいんじゃない？」
ところが，必ずしもそうとは限りません．
ここで，「8 桁の 2 進数」がどのように 10 進数に対応しているかを見てみましょう．
まず，「正の数か，負の数か」を表すための符号が必要になります．
これを 8 桁のうちの第1桁目とします．
すなわち，正の数は第1桁目を “0” とし，負の数は第1桁目を “1” とします．
正の数 -> 0xxxxxxx (例えば 00011101 など)
負の数 -> 1xxxxxxx (例えば 10110010 など)
こんな具合です．
そうすると，数字は残りの 7 桁で表すことになります．
10 進数の 0 ～ 127 までは次のように，2 進数と対応します．
2 進数 10 進数
0111 1111 127
… …
0000 0010 2
0000 0001 1
0000 0000 0
ここで，8 桁の 2 進数を 4 桁ごとに区切っていますが，これは見やすくするためです．
これは，綺麗に対応していますね．
では次に，負の数 -128～-1 はどのように対応させているのでしょうか？
「1 桁目が符号(±)を表しているのだから，残りの 7 桁が絶対値を表せばいい」
と考えてみるとどうでしょうか，すなわち，
2 進数 10 進数
1111 1111 -127
… …
1000 0010 -2
1000 0001 -1
1000 0000 -0
アレレ，”-0″ なんてモノができてしまいました．
しかも “-128” がありません．
となると 2 進数の “1000 0000” を 10 進数の “-128” を表すものとしましょう．
これらをまとめると次のようになります．
2 進数 10 進数
0111 1111 127
… …
0000 0010 2
0000 0001 1
0000 0000 0
1000 0001 -1
1000 0010 -2
… …
1111 1111 -127
1000 0000 -128
これは美しくありません．
特に “-128” がリズムを乱していますね．では，どうすればイイのでしょうか？
実際には，負の数は次のように対応付けられています．
2 進数 10 進数
1111 1111 -1
1111 1110 -2
… …
1000 0000 -128
すなわち，8 桁の 2 進数 “128～255” を，10 進数の “-128～-1” に対応させているのです．
正の数とあわせて次のようになります．
2 進数 10 進数
0111 1111 127
… …
0000 0010 2
0000 0001 1
0000 0000 0
1111 1111 -1
1111 1110 -2
… …
1000 0000 -128
このような対応付けには次のような利点があります．
1. 加算が自然である．
例えば，10 進数の “-1 + 3” を見てみましょう．
それぞれ 符号付 2 進数に置き換えて計算すると，次のようになります．
1111 1111
+) 0000 0011
1 0000 0010
ここで，9 桁目は無視されますから，答えは “0000 0010 = 2” となります．
先のもうひとつの対応付けでは，こうはいきません．
特に “-1” と “0” のつながりが自然です．
“1111 1111 = -1” に “1” を加えると， “1 0000 0000” になります．
ここで，9 桁目を無視すれば， “0000 0000 = 0” になるのです．
2. 符号付整数を普通の 8 桁の 2 進数とみても，正の数 “0～127” は変わらない．
これが，正の符号を “0” としている根拠です．
ただし，符号付整数 “-128～-1” は “128～255” になってしまいます．
このように，コンピュータの中では 10 進数は 2 進数に置き換えられ処理されています．
この対応付けから，自然と「byte 型は -128～127 の値をとる．」ことが理解できるかと思います．
更に一歩すすんでみましょう．
「byte 型の取りうる範囲は “-128～127″」でした．すなわち “-2^(8 – 1) ～ 2^(8 – 1) -1” ということになります．
これを一般化すると次のようになります．
「n ビットの符号付整数の取りうる範囲は “-2^(n – 1) ～ 2^(n – 1) -1” である．」
JAVA には次の整数型がありますが，実際に調べてみてはいかがでしょうか．
変数型 bit数 範囲
short 16 -32,768 ～ 32,767
int 32 -2,147,483,648 ～ 2,147,483,647
long 64 -9,223,372,036,854,775,808
～ 9,223,372,036,854,775,807
桁が多くなると，何が何だかわからないので整理すると，
int 32 -2 x 10^9 ～ 2 x 10^9 (= 約20億)
long 64 -9 x 10^18 ～ 9 x 10^18
黙々と暗記するよりも，その理由を知ることが，より深い理解につながるのではないかと思います．
そんなことを思い，この文章を書いてみました．